Moving Average Polynomial Muss Invertierbar Sein

Problemstellung: Für jedes der Modelle von Übung 3.1 und auch für die folgenden Modelle geben Sie an, ob (a) stationär (b) invertierbar ist. Lösung: Das sind alle ARMA-Modelle, so dass Stationarität genau dann gilt, wenn die Wurzeln der AR-Gleichung alle außerhalb des Einheitskreises liegen und Invertibilität genau dann, wenn die Wurzeln der MA-Gleichung außerhalb des Einheitskreises liegen. Hinweis: Die Autoren schreiben die ganze Zeit zu betonen, dass Sie die Mittel für diese Modelle nehmen müssen. Wir schreiben einfach Z t und nehmen an, dass alles gemein ist. Die Wurzel (en) der autoregressiven charakteristischen Gleichung ist (sind), außerhalb des Einheitskreises. Daher ist das Verfahren stationär. Die Wurzel (s) der gleitenden mittleren charakteristischen Gleichung bilden einen leeren Satz, so dass alle Wurzeln leer außerhalb des Einheitskreises sind. Anders ausgedrückt (in der Sprache, die in der Vorlesung verwendet wurde) gibt es keine Wurzeln von auf oder im Einheitskreis. Daher ist das Verfahren invertierbar. Die Wurzel (en) der autoregressiven charakteristischen Gleichung bilden eine leere Menge, so dass alle Wurzeln außerhalb des Einheitskreises leer sind. Anders ausgedrückt (in der Sprache, die in der Vorlesung verwendet wurde) gibt es keine Wurzeln von auf oder im Einheitskreis. Daher ist das Verfahren stationär. Die Wurzeln der gleitenden mittleren charakteristischen Gleichung können durch Factoring bestimmt werden: Beide Wurzeln liegen außerhalb des Einheitskreises. Daher ist das Verfahren invertierbar. Die Wurzel der autoregressiven charakteristischen Gleichung ist außerhalb des Einheitskreises. Daher ist das Verfahren stationär. Der gleitende Mitteloperator ist der gleiche wie in Modell 2, so dass der Prozess invertierbar ist. Die Wurzeln der autoregressiven charakteristischen Gleichung Der Modulquadrat dieser komplexen konjugierten Wurzeln liegt außerhalb des Einheitskreises. Daher ist das Verfahren stationär. (Man kann dies bestimmen, ohne die Wurzeln zu berechnen, sobald bekannt ist, daß die Wurzeln komplexe Konjugate sind.) Man erinnere sich, daß das Produkt der reziproken Wurzeln das Modul ist, das quadriert ist und gleich dem Koeffizienten von v 2 ist, und zwar 0,6, also der Modul Quadrat ist 10,6 gt 1.) Das Verfahren ist invertierbar wie in Modell 1. Die Wurzel der autoregressiven charakteristischen Gleichung ist auf dem Einheitskreis. Daher ist das Verfahren nicht stationär. Die Wurzel des Polynoms der gleitenden mittleren Eigenschaft ist v 2 außerhalb des Einheitskreises. Daher ist das Verfahren invertierbar. Die Wurzel der autoregressiven charakteristischen Gleichung ist auf dem Einheitskreis. Daher ist das Verfahren nicht stationär. Die Wurzeln der gleitenden mittleren charakteristischen Gleichung können durch Factoring bestimmt werden: Problem Statement: Für jedes der Modelle von Übung 3.1 und auch für die folgenden Modelle geben Sie an, ob (a) stationär (b) invertierbar ist. Lösung: Das sind alle ARMA-Modelle, so dass Stationarität genau dann gilt, wenn die Wurzeln der AR-Gleichung alle außerhalb des Einheitskreises liegen und Invertibilität genau dann, wenn die Wurzeln der MA-Gleichung außerhalb des Einheitskreises liegen. Hinweis: Die Autoren schreiben die ganze Zeit zu betonen, dass Sie die Mittel für diese Modelle nehmen müssen. Wir schreiben einfach Z t und nehmen an, dass alles gemein ist. Die Wurzel (en) der autoregressiven charakteristischen Gleichung ist (sind), außerhalb des Einheitskreises. Daher ist das Verfahren stationär. Die Wurzel (s) der gleitenden mittleren charakteristischen Gleichung bilden einen leeren Satz, so dass alle Wurzeln leer außerhalb des Einheitskreises sind. Anders ausgedrückt (in der Sprache, die in der Vorlesung verwendet wurde) gibt es keine Wurzeln von auf oder im Einheitskreis. Daher ist das Verfahren invertierbar. Die Wurzel (en) der autoregressiven charakteristischen Gleichung bilden eine leere Menge, so dass alle Wurzeln außerhalb des Einheitskreises leer sind. Anders ausgedrückt (in der Sprache, die in der Vorlesung verwendet wurde) gibt es keine Wurzeln von auf oder im Einheitskreis. Daher ist das Verfahren stationär. Die Wurzeln der gleitenden mittleren charakteristischen Gleichung können durch Factoring bestimmt werden: Beide Wurzeln liegen außerhalb des Einheitskreises. Daher ist das Verfahren invertierbar. Die Wurzel der autoregressiven charakteristischen Gleichung ist außerhalb des Einheitskreises. Daher ist das Verfahren stationär. Der gleitende Mitteloperator ist der gleiche wie in Modell 2, so dass der Prozess invertierbar ist. Die Wurzeln der autoregressiven charakteristischen Gleichung Der Modulquadrat dieser komplexen konjugierten Wurzeln liegt außerhalb des Einheitskreises. Daher ist das Verfahren stationär. (Man kann dies bestimmen, ohne die Wurzeln zu berechnen, sobald bekannt ist, daß die Wurzeln komplexe Konjugate sind.) Man erinnere sich, daß das Produkt der reziproken Wurzeln das Modul ist, das quadriert ist und gleich dem Koeffizienten von v 2 ist, und zwar 0,6, also der Modul Quadrat ist 10,6 gt 1.) Das Verfahren ist invertierbar wie in Modell 1. Die Wurzel der autoregressiven charakteristischen Gleichung ist auf dem Einheitskreis. Daher ist das Verfahren nicht stationär. Die Wurzel des Polynoms der gleitenden mittleren Eigenschaft ist v 2 außerhalb des Einheitskreises. Daher ist das Verfahren invertierbar. Die Wurzel der autoregressiven charakteristischen Gleichung ist auf dem Einheitskreis. Daher ist das Verfahren nicht stationär. Die Wurzeln der gleitenden mittleren charakteristischen Gleichung können durch Factoring bestimmt werden: 4.3 Nichtstationäre Modelle für Zeitreihen Die bisher vorgestellten Modelle basieren auf der Stationaritätsannahme, dh der Mittelwert und die Varianz des zugrunde liegenden Prozesses sind konstant und die Autokovarianzen abhängig Nur auf der Zeitverzögerung. Aber viele wirtschaftliche und geschäftliche Zeitreihen sind nicht stationär. Nichtstationäre Zeitreihen können auf viele verschiedene Arten auftreten. Insbesondere zeigen ökonomische Zeitreihen in der Regel zeitveränderliche Niveaus, (siehe Grafik (b) in Abbildung 4.1) undVeränderungen (siehe Grafik (c) in Abbildung 4.1). 4.3.1 Nichtstationär in der Varianz Wenn eine Zeitreihe nicht stationär ist, brauchen wir eine geeignete Varianzstabilisierungstransformation. Es ist sehr häufig, dass sich die Varianz eines nichtstationären Prozesses ändert, wenn sich sein Pegel ändert. So nehmen wir an, dass die Varianz des Prozesses ist: für einige positive Konstante und einige bekannte Funktion. Das Ziel besteht darin, eine Funktion zu finden, so dass die transformierte Reihe eine konstante Varianz hat. Expanding in einer ersten Ordnung Taylor Serie um: wo ist die erste Ableitung der ausgewertet bei. Die Varianz von kann angenähert werden als: So muß die Transformation so gewählt werden, daß: Wenn z. B. die Standardabweichung einer Reihe proportional zu ihrem Pegel ist, dann muß die Transformation genügen. Dies impliziert, dass. Daher ergibt eine logarithmische Transformation der Reihe eine konstante Varianz. Wenn die Varianz einer Reihe proportional zu ihrem Niveau ist, so daß dann eine Quadratwurzeltransformation der Reihe eine konstante Varianz ergibt. Um die Varianz zu stabilisieren, können wir allgemein die von Box und Cox (1964) eingeführte Leistungstransformation verwenden. Wo der Transformationsparameter heißt. Es ist anzumerken, dass häufig die Box-Cox-Transformation nicht nur die Varianz stabilisiert, sondern auch die Annäherung an die Normalität des Prozesses verbessert. 4.3.2 Nichtstationarität im Mittelpunkt Einer der dominierenden Merkmale vieler Wirtschafts - und Wirtschaftszeitreihen ist der Trend. Trend ist langsame, langjährige Evolution in den Variablen, die wir modellieren wollen. In den Bereichen Wirtschaft, Wirtschaft und Finanzen wird der Trend in der Regel durch langsam wachsende Präferenzen, Technologien und Demografie geprägt. Dieses Trendverhalten kann nach oben oder unten, steil oder nicht, und exponentiell oder annähernd linear sein. Bei einem solchen Trendmuster ist eine Zeitreihe nichtstationär, sie zeigt keine Tendenz der mittleren Reversion. Die Nichtstationarität im Mittel, dh eine nicht konstante Ebene, kann auf unterschiedliche Weise modelliert werden. Die häufigsten Alternativen sind deterministische Trends und stochastische Trends. Wir betrachten die Erweiterung des Wolds-Zerlegungstheorems für nichtstationäre Reihen von Cramer (1961). Wo ein Null-Mittelwert stationärer Prozess ist. Der sich ändernde Mittelwert eines nichtstationären Prozesses oder Tendenzes kann durch eine deterministische Funktion der Zeit dargestellt werden. Diese Modelle für den Trend deuten darauf hin, dass sich der Serientrend in einer perfekt vorhersagbaren Weise entwickelt, daher werden sie als deterministische Trendmodelle bezeichnet. Wenn zum Beispiel die mittlere Funktion einem linearen Trend folgt, kann man das deterministische lineare Trendmodell verwenden: Der Parameter ist der Intercept, es ist der Wert des Trends zur Zeit und ist die Steigung ist er positiv, wenn der Trend zunimmt und negativ, wenn Der Trend sinkt. Je größer der Absolutwert der steileren Trends slope. Manchmal tritt der Trend nichtlinear oder gekrümmt auf, zum Beispiel wenn eine Variable mit steigender oder abnehmender Rate ansteigt. Tatsächlich ist es nicht erforderlich, dass Trends linear sind, nur dass sie glatt sind. Quadratische Trendmodelle können möglicherweise Nichtlinearitäten erfassen, wie sie in einigen Serien beobachtet werden. Solche Trends sind quadratisch im Gegensatz zu linearen Funktionen der Zeit, Polynom-Trends der höheren Ordnung werden manchmal betrachtet, aber es ist wichtig, niederwertige Polynome zu verwenden, um die Glätte aufrechtzuerhalten. Andere Arten von nichtlinearen Trends, die manchmal geeignet sind, sind die exponentiellen Trends. Wenn der Trend durch konstantes Wachstum mit der Geschwindigkeit charakterisiert wird, können wir schreiben: Der Trend ist als nichtlineare (exponentielle) Funktion der Zeit in den Ebenen modelliert worden, aber in den Logarithmen haben wir also eine lineare Funktion der Zeit. Diese Situation, in der ein Trend nichtlinear in Ebenen, sondern linear in Logarithmen bezeichnet wird, wird als exponentieller Trend oder loglinearer Trend bezeichnet und ist sehr häufig in der Ökonomie, weil ökonomische Variablen oft grob konstante Wachstumsraten aufweisen. Die Nichtstationarität im Mittelwert kann in der Klasse der Modelle (4.7) behandelt werden. Ein Modell ist nichtstationär, wenn sein Polynom die Stationaritätsbedingung nicht erfüllt, dh wenn einige seiner Wurzeln nicht außerhalb des Einheitskreises liegen. Wenn das Polynom mindestens eine Wurzel innerhalb des Einheitskreises enthält, ist das Verhalten einer Realisierung des Prozesses explosiv. Dies ist jedoch nicht die Art der Evolution, die in Wirtschafts - und Wirtschaftszeitreihen beobachtet werden kann. Obwohl viele von ihnen nichtstationär sind, verhalten sich diese Reihen sehr ähnlich, mit Ausnahme des Unterschieds in den lokalen Durchschnittswerten. Wenn wir die Evolution der Serie unabhängig von ihrer Ebene im Rahmen von Modellen modellieren wollen, muss das Polynom genügen: Damit das Polynom faktorisiert werden kann, wie: Anwendung dieser Zerlegung auf das allgemeine Modell: Wo ist ein Polynom der Ordnung und. Wenn ein stationäres Polynom ist, sagen wir, dass eine Einheit autoregressive Wurzel hat. Wenn das nichtstationäre Polynom beispielsweise mehr als eine Einheitswurzel aufweist, kann es zerlegt werden als: Wenn wir diese Zerlegung wieder auf das allgemeine Modell anwenden, erhalten wir: für etwas, wo ein stationäres Polynom der Ordnung ist. Kurz gesagt, wenn wir Prozesse zur Modellierung nichtstationärer Zeitreihen verwenden, führt die Nichtstationarität zum Vorhandensein von Einheitswurzeln im autoregressiven Polynom. Mit anderen Worten, die Reihe ist nichtstationär, sondern ihre th differenzierte Reihe, für eine ganze Zahl folgt einem stationären und invertierbaren Modell. Ein Prozess mit diesen Merkmalen wird als integrierter Prozess der Ordnung d bezeichnet und wird mit bezeichnet. Es ist anzumerken, dass die Reihenfolge der Integration eines Prozesses die Anzahl der Unterschiede ist, die benötigt werden, um die Stationarität zu erreichen, d. h. Die Anzahl der im Prozess vorhandenen Einheitswurzeln. In der Praxis und Prozessen sind bei weitem die wichtigsten Fälle für ökonomische und wirtschaftliche Zeitreihen, die sich viel seltener ergeben. Box und Jenkins (1976) beziehen sich auf ein solches nichtstationäres Verhalten als homogene Nichtstationarität, was zeigt, dass das lokale Verhalten dieser Art von Reihen unabhängig von ihrem Niveau (für Prozesse) und ihrem Niveau und ihrer Steigung (für Prozesse) ist. Im allgemeinen, wenn die Reihe in Ordnung integriert ist, kann sie durch folgendes Modell dargestellt werden: wobei der stationäre Operator und der invertierbare Operator keine gemeinsamen Faktoren teilen. Das resultierende homogene nichtstationare Modell (4.19) wurde als das autoregressive integrierte Bewegungsdurchschnitts-Modell der Ordnung bezeichnet und wird als Modell bezeichnet. Wenn, wird das auch als Integrated Moving Average Modell der Ordnung und es wird als Modell bezeichnet. Wenn das resultierende Modell das autoregressive integrierte Modell genannt wird. Um mehr Einblick in die Art des nichtstationären Verhaltens zu bekommen, das durch integrierte Prozesse impliziert wird, wollen wir mit einigen Details zwei der einfachsten Modelle studieren: zufälliger Weg und zufälliger Weg mit Driftmodellen. Das Zufallswegmodell ist einfach ein mit Koeffizient: und die t-Statistik für die Einheitswurzel-Nullhypothese folgt der gleichen Verteilung wie bzw.. Die häufigsten Werte für null und 1 sind in Wirtschafts - und Wirtschaftszeitreihen. Deshalb haben wir uns bisher darauf konzentriert, die Nullhypothese einer Einheitswurzel gegen die Alternative der Stationarität (möglicherweise in Abweichungen von einem Mittelwert oder einem linearen Trend) zu testen. Aber es ist möglich, dass die Serie mehr als eine Einheit Wurzel. Wenn wir die Hypothese, dass eine Reihe gegen die Alternative ist, dass sie ist, untersuchen wollen, schlagen Dickey und Pantula (1987) vor, einem sequentiellen Verfahren zu folgen. Zuerst sollten wir die Nullhypothese der Einheitswurzeln gegen die Alternative der Einheitswurzeln testen. Wenn wir dies ablehnen, dann sollte die Nullhypothese der Einheitswurzeln gegen die Alternative der Einheitswurzeln getestet werden. Zuletzt wird die Nullstelle einer Einheitswurzel gegen die Alternative der Stationarität getestet. Der XEGutsm07.xpl-Code berechnet die ADF-Statistik, um die Einheitswurzelhypothese für eine simulierte Zufallslaufserie der Größe 1000 zu testen. Der Wert der is -0.93178, der die Nullhypothese auf der 5-Signifikanzstufe ablehnt. Dieser Ausgang liefert auch die kritischen Werte 1, 5, 10, 90, 95 und 99. Es ist zu erkennen, dass die Unterschiede zwischen den Verteilungen der konventionellen t-Statistik wichtig sind. Beispielsweise beträgt der kritische Wert bei einem Signifikanzniveau von 0,05 den Wert -2,86, während der Wert der normalen Annäherung an die Schüler bei großen Stichproben -1,96 beträgt. Wenn wir die Stationarität einer Zeitreihe oder eine lineare Kombination von Zeitreihen überprüfen wollen, wäre es interessant, die Nullhypothese der Stationarität direkt zu testen. In Anbetracht dessen, dass die klassische Hypothesen-Testmethode dafür sorgt, dass die Nullhypothese akzeptiert wird, es sei denn, es gibt starke Hinweise darauf, ist es nicht verwunderlich, dass eine gute Anzahl von empirischen Arbeiten zeigt, dass Standard-Einheitswurzeltests die Nullhypothese für viele nicht ablehnen Wirtschaftliche Zeitreihen. Wenn es darum geht zu entscheiden, ob die ökonomischen Daten stationär oder integriert sind, wäre es sinnvoll, Tests der Nullhypothese der Stationarität sowie Tests der Einheitswurzel-Nullhypothese durchzuführen. Kwiatkowski, Phillips, Schmidt und Shin (1992) (KPSS) haben einen Test für die Nullhypothese der Stationarität gegen die Alternative der Einheitswurzel entwickelt. Betrachten wir den folgenden Datenerzeugungsprozess: